您可以申请退休，但需符合法定条件和程序。分析：根据我国相关法律规定，因病或非因工致残，由医院证明并经劳动鉴定委员会确认完全丧失劳动能力的，退休年龄为男年满50周岁、女年满45周岁。您已年满51岁且因乳腺癌手术导致肢体四级残疾，若经医院证明并劳动鉴定委员会确认完全丧失劳动能力，则符合申请退休的条件。提醒：若您的身体状况已严重影响到日常生活和工作，且医院和劳动鉴定委员会已出具相关证明，表明问题已较为严重，应及时办理退休手续并咨询专业人士。
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具体操作：1.收集材料：包括医院出具的疾病诊断证明、残疾证明、个人身份证明及工作档案等。2.劳动鉴定：向当地劳动鉴定委员会提出申请，进行劳动能力鉴定，确认是否完全丧失劳动能力。3.提交申请：若鉴定结果为完全丧失劳动能力，可通过单位或个人向劳动行政部门提交退休申请。4.审核批准：劳动行政部门对申请进行审核，符合条件的将批准退休，并办理相关手续。5.领取待遇：退休后，您可享受养老保险待遇及残疾人相关福利政策。请根据实际情况选择适合您的处理方式，并严格按照法定程序办理。
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处理方式：从法律角度，申请退休主要有两种途径：一是通过单位办理，由单位向劳动行政部门提交申请；二是个人自行向劳动行政部门提交申请。选择建议：若您仍在单位工作，且单位有意愿并协助您办理退休手续，建议通过单位办理；若单位不予协助或您已离职，可自行向劳动行政部门提交申请。